ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Международные соревнования >> Азиатско-Тихоокеанская МО >> 1994Показать решения
Международные соревнования. Азиатско-Тихоокеанская МО. 1994

Задача 1:

Найдите все функции заданные на множестве вещественных чисел, удовлетворяющие следующим трем условиям:

Задача 2:

Докажите, что расстояние от ортоцентра невырожденного треугольника до центра описанной вокруг него окружности строго меньше 3R, где R – радиус описанной окружности.

Задача 3:

Найдите все натуральные n, которые можно представить в виде суммы квадратов двух взаимно простых чисел (n = a² + b²), таким образом, что любое простое число является делителем ab.

Задача 4:

Существует ли бесконечное множество точек на плоскости такое, что никакие три точки из него не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между ними рациональные?

Задача 5:

В таблице A записаны числа 10k (для всех k > 0) в десятичной системе счисления, в таблице B они же записаны в двоичной, а в таблице C – в пятеричной. Докажите, что каким бы ни было число n > 1, найдется ровно одно число или в таблице B или в таблице C, в записи которого ровно n цифр.


Купить траворезка продам траворезка умница купить.


Задачная база >> Международные соревнования >> Азиатско-Тихоокеанская МО >> 1994Показать решения