Задача 1:

Найдите все последовательности вещественных чисел a₁,a₂, … ,a₁₉₉₅ удовлетворяющие неравенствам:

Задача 2:

a₁,a₂, … ,a_n – последовательность целых чисел из отрезка [2,1995] такая, что

• [(1)] любые два члена последовательности взаимно просты;
• [(2)] каждый член последовательности является либо простым числом, либо произведением различных простых чисел.

Найдите наименьшее n, такое, что в последовательности a_i наверняка будет по крайней мере одно простое число.

Задача 3:

PQRS – описанный четырехугольник, стороны которого PQ и RS не параллельны. Рассмотрим семейство окружностей проходящих через точки P и Q и семейство окружностей, проходящих через точки R и S. Определите геометрическое место точек касания окружностей этих двух семейств.

Задача 4:

C – окружность радиуса R с центром в точке O, S – некоторая точка внутри нее. AA′ и BB′ – две перпендикулярные хорды проходящие через S. Рассмотрим прямоугольники SAMB,SBN′A′,SA′M′B′ и SB′NA. Найдите геометрическое место точек M,N′,M′,N, когда точка A описывает всю окружность C.

Задача 5:

Найдите такое минимальное k, что существует отображение f множества целых чисел в множество 1,2, … ,k со свойством f(x) ≠ f(y) при |x – y| ∈ 5,7,12.