Задача 1:

Найдите все функции такие, что f(xf(x) + f(y)) = (f(x))² + y для любых вещественных чисел x и y.

Задача 2:

На медиане AD неравнобедренного треугольника ABC взята точка E. Точка F – проекция точки E на прямую BC, точка M лежит на отрезке EF, точки N и P – проекции точки M на прямые AC и AB соответственно. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы углов PMN и PEN параллельны.

Задача 3:

Найдите максимальное количество прямоугольников , которые можно вырезать из прямоугольника 50 × 90 с помощью разрезов, параллельных его сторонам.

Задача 4:

Будем говорить, что натуральное число r является степенью, если его можно представить в виде r = t^s, где t и s – натуральные числа, не равные 1. Докажите, что для любого натурального числа n существует n степеней таких, что сумма любых k из них (1 < k ≤ n) также является степенью.