Задача 1:

Пусть n – натуральное число. Докажите, что если a и b – большие 1 натуральные числа такие, что 2ⁿ – 1 = ab, то ab – (a – b) – 1 есть число вида k • 2^2m, где k – некоторое нечётное число, а m – некоторое натуральное число.

Задача 2:

Докажите, что если у пятиугольника все внутренние углы равны, а все стороны имеют рациональную длину, то пятиугольник правильный.

Задача 3:

a, b и c – положительные вещественные числа такие, что a + b + c ≥ abc. Докажите, что .

Задача 4:

Куб размера 3 × 3 × 3 разбит на 27 кубических ячеек со стороной 1. Одна из ячеек пуста, в остальных лежат кубики, в некотором порядке пронумерованные числами 1, 2,…,26. Разрешённый ход состоит в передвижении кубика в соседнюю пустую ячейку (две ячейки считаются соседними, если они имеют общую грань). Существует ли такая конечная последовательность разрешённых ходов, при которой для любого k = 1, … 13 кубики k и 27 – k поменяются местами?