ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Международные соревнования >> Израильско-Венгерские математические соревнования >> 1995Показать решения
Международные соревнования. Израильско-Венгерские математические соревнования. 1995

Задача 1:

Обозначим через Sn сумму первых n простых чисел. Докажите, что между Sn и Sn + 1 найдется по крайней мере один точный квадрат.

Задача 2:

На окружности взяли пять точек P,P1,P2,P3,P4. Пусть dij – расстояние от точки P до прямой PiPj. Докажите, что d12d34 = d13d24.

Задача 3:

Квадратный трехчлен f(x) = ax² + bx + c удовлетворяет неравенству |f(x)| ≤ 1 при всех x ∈ [0,1]. Найдите максимальное значение выражения |a| + |b| + |c|.

Задача 4:

Докажите, что ребра выпуклого многогранника все грани которого треугольники можно покрасить в два цвета так, что между любыми двумя вершинами можно будет пройти как только по ребрам одного цвета так и только по ребрам второго цвета.



Задачная база >> Международные соревнования >> Израильско-Венгерские математические соревнования >> 1995Показать решения