ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Международные соревнования >> Международная МО >> 24 олимпиадаПоказать решения
Международные соревнования. Международная МО. 24 олимпиада

Задача 1: [Великобритания] Найдите все такие функции f, определенные на множестве положительных действительных чисел и принимающие значения в нем же, для которых выполнены следующие условия:

1) f((x) • f(y)) = y • f(x) при любых x,y ≥ 0,

2) f(x) → 0 при x →  +  ∞ .

Задача 2: [СССР, И.Ф.Шарыгин] Пусть A – одна из точек пересечения двух окружностей с центрами O1 и O2, P1P2 и Q1Q2 – общие касательные, M1 и M2 середины хорд P1Q1 и P2Q2 этих окружностей. Докажите равенство углов O1AO2 и M1AM2.

Задача 3: [Франция] Пусть a, b, c – целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде xbc + yca + zab (где x, y, z – неотрицательные целые числа), равно 2abc – ab – bc – ca.

Задача 4: [Бельгия] Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника ABC, разбиты на два множества E1 и E2. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств E1 и E2 найдется тройка вершин прямоугольного треугольника?

Задача 5: [Польша] Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих 100000, так, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т.е. ни одной тройки a, b, c, в которой a + c = 2b)?

Задача 6: [США] а) Докажите, что если a, b, c – длины сторон треугольника, то выполнено неравенство a²b(a – b) + b²c(b – c) + c²a(c – a) ≥ 0. Выясните, в каких случаях оно превращается в равенство.

б) Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c выполнено неравенство a²b(a – c) + b²c(b – a) + c²a(c – b) ≥ 0.


Встроенная в шкаф гладильная доска волшебныйуголок.рф.


Задачная база >> Международные соревнования >> Международная МО >> 24 олимпиадаПоказать решения