ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Международные соревнования >> Международная МО >> 30 олимпиадаПоказать решения
Международные соревнования. Международная МО. 30 олимпиада

Задача 1: [Филиппины] Докажите, что множество 1,2, … ,1989 можно представить в виде объединения попарно непересекающихся множеств Ai (i = 1,2, … ,117) таких, что

а) каждое из множеств Ai имеет 17 элементов;

б) S1 = S2 =  … S117, где Si – сумма всех чисел множества Ai.

Задача 2: [Австралия] Биссектрисы углов A, B, C остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Прямая AAi пересекает биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC в точке A0. Точки B0 и C0 определяются аналогично.

Докажите, что

а)

б)

Задача 3: [Венгрия] Пусть n и k – фиксированные натуральные числа, n ≥ k. Множество S из n точек плоскости обладает следующими свойствами:

а) никакие три точки из S не лежат на одной прямой;

б) для любой точки P ∈ S существуют не менее k различных точек из S, равноудаленных от P.

Докажите, что

Задача 4: [Исландия] Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, стороны AB, AD и BC которого удовлетворяют равенству AB = AD + BC. Внутри этого четырехугольника существует точка P такая, что AP = h + AD и BP = h + BC, где h – расстояние от точки P до прямой CD.

Докажите, что

Задача 5: [Швеция] Докажите, что для любого n найдется n последовательных натуральных чисел, каждое из которых не является степенью простого числа с целым показателем.

Задача 6: [Польша] Назовем перестановку (x1,x2, … ,x2n) из чисел 1,2, … ,2n удобной, если |xi – xi = 1| = n по крайней мере для одного значения i ∈ 1,2, … ,2n – 1. Докажите, что при любом n больше половины всех возможных перестановок являются удобными.


Окна roto designo в эфире передачи дачный ответ remont-online.net.


Задачная база >> Международные соревнования >> Международная МО >> 30 олимпиадаПоказать решения