Задача 1: [Филиппины] Докажите, что множество 1,2, … ,1989 можно представить в виде объединения попарно непересекающихся множеств A_i (i = 1,2, … ,117) таких, что

а) каждое из множеств A_i имеет 17 элементов;

б) S₁ = S₂ =  … S₁₁₇, где S_i – сумма всех чисел множества A_i.

Задача 2: [Австралия] Биссектрисы углов A, B, C остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Прямая AA_i пересекает биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC в точке A₀. Точки B₀ и C₀ определяются аналогично.

Докажите, что

а)

б)

Задача 3: [Венгрия] Пусть n и k – фиксированные натуральные числа, n ≥ k. Множество S из n точек плоскости обладает следующими свойствами:

а) никакие три точки из S не лежат на одной прямой;

б) для любой точки P ∈ S существуют не менее k различных точек из S, равноудаленных от P.

Докажите, что

Задача 4: [Исландия] Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, стороны AB, AD и BC которого удовлетворяют равенству AB = AD + BC. Внутри этого четырехугольника существует точка P такая, что AP = h + AD и BP = h + BC, где h – расстояние от точки P до прямой CD.

Докажите, что

Задача 5: [Швеция] Докажите, что для любого n найдется n последовательных натуральных чисел, каждое из которых не является степенью простого числа с целым показателем.

Задача 6: [Польша] Назовем перестановку (x₁,x₂, … ,x_2n) из чисел 1,2, … ,2n удобной, если |x_i – x_i = 1| = n по крайней мере для одного значения i ∈ 1,2, … ,2n – 1. Докажите, что при любом n больше половины всех возможных перестановок являются удобными.