Задача 1: Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, все ортогональные проекции которого на три попарно перпендикулярные плоскости, являются кругами?

(А.Я.~Канель)

Задача 2: Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.

(В.В.~Произволов)

Задача 3: а) Каждую сторону четырехугольника процессе обхода по часовой стрелке продолжили на ее длину. Оказалось, что концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырехугольник — квадрат.

б) Докажите, что если в результате той же процедуры из n-угольника получится правильный, то исходный n-угольник правильный.

(М.~Евдокимов)

Задача 4: Даны действительные числа a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ и b₁ ≤ b₂ ≤ b₃, такие что a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃ и a₁a₂ + a₂a₃ + a₁a₃ = b₁b₂ + b₂b₃ + b₁b₃. Докажите, что если a₁ ≤ b₁, то a₃ ≤ b₃.

(К.~Фельдман)

Задача 5: В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение — 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициент одинаков. Число участников турнира больше двух. Доказать, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.

(Б.Р.~Френкин)

Задача 6: Рассмотрим последовательность первых цифр степеней пятерки: 1, 5, 2, 1, 6, …Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, …)

(А.Я.~Канель)