Задача 1: В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. На каждой горизонтали шахматной доски стоит хотя бы одна фигура, и в разных горизонталях число фигур разное. Докажите, что можно выбрать 8 фигур, которые будут стоять в разных горизонталях и разных вертикалях.

(В.В.~Произволов)

Задача 2: От вулканостанции до вершины вулкана Стромболи надо идти 4 часа по дороге, а затем 4 часа по тропинке. На вершине два рядом расположенных кратера, первый 1 час извергается, потом 17 часов молчит, потом опять 1 час извергается…, второй — 1 час извергается, 9 часов молчит, 1 час извергается… и т.д. Во время извержения первого кратера опасно идти и по тропинке, и по дороге, а во время извержения второго опасна только тропинка. Ваня увидел, что ровно в 12 часов оба кратера начали извергаться одновременно. Сможет ли он когда-нибудь зайти на вершину вулкана и вернутся назад, не рискуя жизнью?

(И.В.~Ященко)

Задача 3: Внутри острого угла XOY взяты точки M и N так, что  ∠ XON =  ∠ YOM. На отрезке OX выбирается точка Q так, что  ∠ OQN =  ∠ MQX, а на отрезке OY выбирается точка P так, что  ∠ OPN =  ∠ MPY. Докажите, что длины ломаных MPN и MQN равны.

(В.В.~Произволов)

Задача 4: Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку цифр остается составным? Существует ли такое 1997-значное число?

(А.В.~Шаповалов, А.Г.~Кулаков)

Задача 5: Дан ромб ABCD, в котором  ∠ ABC = 40, E — середина BC, F — основание перпендикуляра, опущенного из A на DE. Найти угол DFC.

(М.~Волчкевич)

Задача 6: Банкир попросил эксперта определить с помощью чашечных весов без гирь одну фальшивую более легкую монету из клада абсолютно похожих друг на друга монет. Банкир предупредил эксперта, что каждую монету можно класть на чашки весов не более двух раз. Из какого наибольшего числа монет эксперт может выделить фальшивую за n взвешиваний?

(А.В.~Шаповалов)