Задача 1: Есть n гирь. Известно, что каждая весит целое число граммов, и их общий вес меньше p г. При каком наибольшем p можно с помощью чашечных весов гарантированно определить вес каждой гири? (Можно класть гири на чаши в любых сочетаниях и проводить любое число взвешиваний).

Задача 2: В стране Ненашии города связаны двусторонними рейсами двух авиакомпаний, между любыми двумя городами есть авиамаршрут (возможно, с пересадками), и из каждого города рейсов обеих компаний поровну. Агенту 007 предписано при передвижении строго чередовать авиакомпании. Сможет ли он, соблюдая это условие, добраться из любого города в любой другой?

Задача 3: Десять банкиров сидят за круглым столом. У каждого на счете записано действительное число, причем есть положительные числа и есть отрицательные. Банкиры по очереди прибавляют остальным банкирам одну девятую своего (к началу операции) числа, а себе пишут нуль. Докажите, что после десятой операции у банкиров не могут оказаться исходные десять чисел.

Задача 4: Можно ли все натуральные числа расставить на бесконечной шахматной доски так, чтобы сумма любых десяти, стоящих по горизонтали или вертикали, делилась бы на 101?

Задача 5: Три окружности равных радиусов с центрами в точках A, B, C проходят через точку O. Пусть A′B′C′ — другие точки их пересечений, где A′ — точка пересечения окружностей с центрами B и C и т. д. Докажите, что прямые AA′, BB′ и CC′ пересекаются в одной точке.

Задача 6: Ломаная разбивает круг на две равновеликие части. Докажите, что ее длина не меньше диаметра круга.