Задача 1:

Существуют ли три квадратных трёхчлена, такие что каждый из них имеет два различных действительных корня, а сумма любых двух трёхчленов не имеет действительных корней?

(А. Канель)

Задача 2:

Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами. Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?

(Фольклор)

Задача 3:

В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, I′ – центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон CB и CA; L и L′ – точки, в которых сторона AB касается этих окружностей. Докажите, что прямые IL′, I′L и высота CH треугольника ABC пересекаются в одной точке.

(А. Заславский)

Задача 4:

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.

(А. Канель)

Задача 5:

Докажите, что в пространстве существует расположение 2001 выпуклого многогранника, такое что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а любые два касаются друг друга (т. е. имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

(А. Канель)

Задача 6:

По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.

а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.

б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.

(В. Гуровиц)