ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Московские соревнования >> Городская олимпиада >> 2001 >> Городской тур >> 9 классПоказать решения
64 Московская математическая олимпиада. Городской тур. 9 класс

Задача 1:

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

(А. Митягин)

Задача 2:

В некоторой стране суммарная зарплата 10 самых высокооплачиваемых работников составляет 90 зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10 работников составляет не более 11 всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?

(М. Вялый)

Задача 3:

Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A («угол падения» равен «углу отражения»). Докажите, что центр O окружности, описанной около треугольника BCM, лежит на прямой AM.

(А. Заславский)

Задача 4:

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

(В. Клепцын)

Задача 5:

Натуральное число N в 999 … 99 (k девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

(Г. Гальперин)

Задача 6:

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – 1/2 очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.

а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?

б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

(А. Толпыго)



Задачная база >> Московские соревнования >> Городская олимпиада >> 2001 >> Городской тур >> 9 классПоказать решения