Задача 1: (8) а) Можно ли занумеровать ребра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

б) Аналогичный вопрос, если расставлять по ребрам куба числа  – 6,  – 5,  – 4,  – 3,  – 2,  – 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Решение: а) Докажем, что такая нумерация невозможна методом «от противного". Предположим, что это возможно, и сумма номеров ребер, сходящихся в каждой из восьми вершин, равна x. Сложив эти суммы для всех вершин, получим 8x. С другой стороны, мы должны таким образом получить удвоенную сумму номеров всех ребер, так как номер каждого ребра входит в эту сумму дважды — с каждой из вершин, которые это ребро соединяет. Вычислим эту сумму: 2 • (1 + 2 + ... + 12) = 156. Отсюда следует: 8x = 156, т.е. x не может быть целым числом. Полученное противоречие доказывает утверждение.

б) Пример такой нумерации показан на рис. 3.

Задача 2: (8) Существует ли выпуклый 1978-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов?

Решение: Предположим, что такой многоугольник существует. Каждый угол этого многоугольника не превосходит 179, поскольку меньше 180 и является целым числом. Значит, сумма его углов не превосходит 1978 • 179 = 354062. С другой стороны, известно, что сумма углов любого выпуклого 1978-угольника равна 1976 • 180 = 355680. Полученное противоречие показывает, что такого многоугольника не существует. Заметим, что приведенное рассуждение несколько упрощается, если вместо внутренних углов многоугольника рассматривать его внешние углы.