Задача 1: Докажите, что  – натуральное число ([x] – наибольшее целое число, не превосходящее x)

Задача 2: Найдите все тройки натуральных чисел, являющиеся решениями системы уравнений:

Задача 3:

Дан треугольник ABC, вписанный в окружность k(U,r). Рассмотрим окружность K(U,2r) и проведём к ней касательные a′, b′, c′ так, чтобы точка A лежала между a и a′, точка B лежала между b и b′, точка C лежала между c и c′. Теперь соединим середины сторон треугольника A₁B₁C₁ с серединами соответствующих сторон треугольника ABC. Докажите, что получившиеся три отрезка пересекаются в одной точке.

Задача 4:

Найдите все функции такие, что f(f(x)² + f(y)) = xf(x) + y при всех x и y.

Задача 5:

Найдите все целые числа m, при которых все решения уравнения 3x³ – 3x² + m = 0 рациональны.

Задача 6:

На отрезке AB, как на диаметре, построена полуокружность. На этой полуокружности взяты две точки C и D такие, что AC = CD. Касательная в точке C пересекает прямую BD в точке E. AE пересекает полуокружность в точке F. Докажите, что CF < FD.