Задача 1: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA′, BB′ и CC′, пересекающиеся в точке H. Точка H делит AA′ в отношении 1:1, а BB′ – в отношении 2:1. В каком отношении точка H делит CC′?

Задача 2:

а) Докажите, что при любых положительных a и b и любом натуральном m. В каком случае достигается равенство?

б) Докажите, что при любых вещественных ненулевых значениях a и b. В каком случае достигается равенство?

Задача 3:

В последовательности a_n = a₀,a₁,a₂, …  a_n + 1 = 10a_n + ( – 1)ⁿ при n ≥ 0. Известно, что a₃ = 91. Сколько элементов этой последовательности являются точными квадратами?