ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Болгария >> 1999 >> 4 турПоказать решения
Болгарская математическая олимпиада.. 1999. 4 тур

Задача 1:

Грани параллелепипеда, длины ребер которого – целые числа, покрашены в зеленый цвет. Параллелепипед разрезали на единичные кубики, притом ровно треть из них не имеет ни одной зеленой грани. Найдите размеры параллелепипеда.

Задача 2:

Последовательность an удовлетворяет соотношению (n – 1)an + 1 = (n + 1)an – 2(n – 1). Известно, что a1999 делится на 2000. Найдите наименьшее k для которого ak делится на 2000.

Задача 3:

Одна из сторон треугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки равна , где n не делится на квадрат никакого натурального числа большего 1. Докажите, что отношение радиусов вписанной и описанной окружностей – иррациональное число.

Задача 4:

Найдите количество натуральных чисел не превосходящих 1023 двоичная запись которых не содержит трех одинаковых цифр подряд.

Задача 5:

Вершины A, B и C остроугольного треугольника ABC лежат на сторонах B1C1, A1C1 и A1B1 треугольника A1B1C1 соответственно, притом  ∠ ABC =  ∠ A1B1C1,  ∠ BCA =  ∠ B1C1A1 и  ∠ BAC =  ∠ B1A1C1. Докажите, что ортоцентры треугольников ABC и A1B1C1 равноудалены от окружности описанной около треугольника ABC.

Задача 6:

Докажите, что уравнение x³ + y³ + z³ + t³ = 1999 имеет бесконечно много решений в целых числах.



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Болгария >> 1999 >> 4 турПоказать решения