Задача 1:

Грани параллелепипеда, длины ребер которого – целые числа, покрашены в зеленый цвет. Параллелепипед разрезали на единичные кубики, притом ровно треть из них не имеет ни одной зеленой грани. Найдите размеры параллелепипеда.

Задача 2:

Последовательность a_n удовлетворяет соотношению (n – 1)a_n + 1 = (n + 1)a_n – 2(n – 1). Известно, что a₁₉₉₉ делится на 2000. Найдите наименьшее k для которого a_k делится на 2000.

Задача 3:

Одна из сторон треугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки равна , где n не делится на квадрат никакого натурального числа большего 1. Докажите, что отношение радиусов вписанной и описанной окружностей – иррациональное число.

Задача 4:

Найдите количество натуральных чисел не превосходящих 1023 двоичная запись которых не содержит трех одинаковых цифр подряд.

Задача 5:

Вершины A, B и C остроугольного треугольника ABC лежат на сторонах B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁ треугольника A₁B₁C₁ соответственно, притом  ∠ ABC =  ∠ A₁B₁C₁,  ∠ BCA =  ∠ B₁C₁A₁ и  ∠ BAC =  ∠ B₁A₁C₁. Докажите, что ортоцентры треугольников ABC и A₁B₁C₁ равноудалены от окружности описанной около треугольника ABC.

Задача 6:

Докажите, что уравнение x³ + y³ + z³ + t³ = 1999 имеет бесконечно много решений в целых числах.