|
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 1969 | Показать решения |
|
Канадская математическая олимпиада.. 1969 |
|
a1/b1 = a2/b2 = a3/b3. Докажите, что для любых p1,p2,p3 не равных нулю и любого натурального n
Определите, какое из следующих чисел или
больше при всех c ≥ 1.
Задача 3:
Докажите, что , где a и b – катеты, а c – гипотенуза прямоугольного треугольника.
Когда достигается равенство?
Внутри равностороннего треугольника ABC выбрали точку P. Докажите, что
, где D,E и F – основания перпендикуляров,
опущенных из точки P на стороны треугольника.
Докажите, что длина биссектрисы CD равна , где a = BC,
а b = AC.
Найдите сумму 1 1! + 2 2! + 3 3! + + n n!
Задача 7:
Докажите, что уравнение a² + b² – 8c = 6 не имеет решений в целых числах.
Задача 8:
Строго монотонная функция f, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая натуральные значения удовлетворяет следующим условиям: f(2) = 2 и f(mn) = f(m)f(n) для всех m и n. Докажите, что f(n) = n.
Задача 9:
Докажите, что длина наименьшей стороны четырехугольника вписанного в окружность радиуса 1 не
превосходит .
Из точки P на гипотенузезе равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетом 1 ( ∠ C = 90) опустили перпендикуляры на стороны PQ и PR. Докажите, что по крайней мере одна площадь SAPQ, SBPR и SPQCR не менее 2/9.
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 1969 | Показать решения |