Задача 1:

Веса четырех гирь образуют геометрическую прогрессию. Как найти самую тяжелую из них за два взвешивания на чашечных весах?

Задача 2:

a₀ = 1, a₁ = 2 и для любого n ≥ 1 n(n + 1)a_n + 1 = n(n – 1)a_n – (n – 2)a_n – 1. Найдите значение суммы:

Задача 3:

В шахматном турнире в один круг участвовало два семиклассника и несколько восьмиклассников. Семиклассники получили на двоих 8 очков, в то время как все восьмиклассники получили очков поровну. Сколько восьмиклассников могло участвовать в турнире? Найдите все возможные варианты. (в шахматах за победу дают 1, за ничью – 1/2, за проигрыш – 0 очков).

Задача 4:

На диаметре AB окружности зафиксировали точку C, Q – произвольная точка окружности, P – точка на прямой QC такая, что . Найдите геометрическое место точек P. (???!!!???)

Задача 5:

Докажите, что натуральное число n равно сумме не менее чем двух последовательных натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно не является степенью 2.

Задача 6: A, B, C, D – точки в пространстве такие, что  ∠ ABC =  ∠ BCD =  ∠ CDA =  ∠ DAB =  π /2. Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости.

Задача 7:

P(x,y) – многочлен от двух переменных, такой, что P(x,y) = P(y,x) для всех x и y. Известно, что P(x,y) делится на (x – y). Докажите, что P(x,y) делится на (x – y)².

Задача 8:

Стороны и диагонали правильного 9-угольника покрасили в два цвета – синий и красный. Известно, что у любого треугольника, вершины которого совпадают с вершинами 9-угольника, по крайней мере одна сторона – красная. Докажите, что можно найти 4 вершины таких, что все стороны и диагонали получившегося четырехугольника будут красными.