Задача 1:

Найдите все натуральные w,x,y,z, которые удовлетворяют уравнению w! = x! + y! + z!.

Решение:

Путь x ≤ y ≤ z. Поделив равенство на x! получим (x + 1) ×  …  × w = 1 + (x + 1) ×  …  × y + (x + 1) ×  …  × z. Заметим, что если y > x, то 1 делитс на x + 1, чего быть не может. Следовательно y = x и, если x ≠ z, то 2 делится на x + 1, следовательно x = 1, но уравнение w! = 2 + z! не имеет решений. Тогда x = y = z и w! = 3x!, следовательно w = 3, x = y = z = 2.

Задача 2:

T_r – преобразование плоскости, которое точку (x,y) переводит в точку (2^rx,r2^rx + 2^ry). Найдите все функции f графики которых не меняются при любом преобразовании T_r.

Решение:

Зафиксируем r. Тогда f(2^rx) = r2^rx + 2^rf(x), в частности f(2^r) = r2^r + 2^rf(1) и f( – 2^r) =  – r2^r + 2^rf( – 1). Функции, удовлетворяющие последним двум условиям – f(x) = x ㏒ ₂x + ax при x > 0 и f(x) = x ㏒ ₂|x| + bx, при x ≤ 0. Нетрудно видеть, что графики этих функций не меняются при всех преобразованиях T_r.

Задача 3:

Является ли объем тетраэдра функцией от площадей его граней?

Задача 4:

Докажите, что для любого простого p существует бесконечно много n таких, что 2ⁿ – n делится на p.

Решение:

Будем искать n в виде q(p – 1), тогда остаток от деления 2ⁿ на p будет равен 1. Осталось, чтобы остаток от деления q(p – 1) также был бы равен 1, для этого q должно иметь остаток p – 1, следовательно q = kp – 1 и искомые n = (kp – 1)(p – 1).

Задача 5:

Докажите, что среднее геометрическое чисел a₁, … ,a_n равно среднему геометрическому средних геометрических всех непустых подмножеств a₁, … ,a_n.

Решение:

Число a_i входит в одно среднее в степени , во второе – в степени . нетрудно видеть, что вторая сумма равна