ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 1989Показать решения
Канадская математическая олимпиада.. 1989

Задача 1:

Сколькими способами можно расставить числа от 1 до n в ряд так, чтобы каждое число было бы либо больше, либо меньше всех чисел стоящих перед ним?

Задача 2:

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника A′B′C′, где точки A′,B′ и C′ симметричны A,B,C относительно сторон треугольника, противоположным данным вершинам.

Задача 3:

a1 = 19891989, an + 1 – сумма цифр an. Найдите a5.

Задача 4:

На пяти мачтах натянуты веревки, притом каждая веревка натянута на каких-то двух мачтах, и никакие две веревки не привязаны в одном месте. 5 мартышек начинают лезть, каждая по своей мачте, притом, если мартышка долезает до веревки, то переползает по ней на другую мачту, и продолжает карабкаться по ней. Докажите, что мартышки окажутся на верхушках различных мачт.

Задача 5:

Даны числа 1,2,2², … ,2n – 1. Для произвольной перестановки этих чисел  σ  = x1,x2, … ,xn обозначим s1( σ ) = x1,s2( σ ) = x1 + x2,…sn( σ ) = x1 + x2 +  …  + xn и q( σ ) = s1( σ )s2( σ ) … sn( σ ). Найдите  ∑ 1/q( σ ), где сумма берется по всем перестановкам.



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 1989Показать решения