Задача 1: Найдите все вещественные решения уравнения 4x² – 40[x] + 51 = 0.
Задача 2: По стороне AB равностороннего треугольника ABC с высотой 1 катится круг
радиуса 1 (центр круга находится по ту же сторону от AB, что и вершина C).
Докажите, что длина дуги окружности заключенной внутри треугольника постоянна.
Задача 3: Найдите все натуральные числа, равные квадрату количества своих натуральных
делителей.
Задача 4: Их чисел от 1 до 17 выбрали 8 различных чисел a1,a2,
,a8. Докажите,
что существует такое k > 0, что для по крайней мере трех пар ai – aj = k.
Найдите 7 чисел от 1 до 17 такие, что уравнение ai – aj = k не имеет трех различных
решений для любого k.
Задача 5: x,y,z ≥ 0, x + y + z = 1. Докажите, что x²y + y²z + z²x ≤ 4/27 и определите,
когда достигается равенство.