ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 2000Показать решения
Канадская математическая олимпиада.. 2000

Задача 1:

В полдень Анна, Бет и Кармен начали бежать по круговой дорожке длиной триста метров, стартовав с одной точки. Каждая из них бежала с постоянной скоростью в одном из двух возможных направлений. Докажите, что, если скорость Анны отличается от скоростей двух других девочек, то в какой-то момент времени Анна будет на расстоянии не менее ста метров от каждой из соперниц (расстояние измеряется вдоль более короткой из двух дуг, разделяющих бегуний).

Задача 2:

Перестановка чисел 1901,1902, … ,2000 – последовательность чисел a1,a2, … ,a100, в которой каждое из этих чисел встречается только один раз. Сфомируем последовательность частичных сумм такой перестановки:

s1 = a1,\;\;s2 = a1 + a2,\;\;s3 = a1 + a2 + a3,\; … \;,\;s100 = a1 + a2 +  • s + a100.

Для скольких таких перестановок в последовательности s1, … ,s100 не будет членов, делящихся на 3?

Задача 3: Пусть A = (a1,a2, … ,a2000) – последовательность целых чисел из промежутка [ – 1000,1000]. Предположим, что сумма элементов A равна 1. Докажите, что можно выбрать непустую подпоследовательность A, сумма элементов которой равна нулю.

Задача 4:

Пусть ABCD – выпуклый четырёхугольник с

Докажите, что AD = CD.

Задача 5:

Предположим, что вещественные числа a1,a2, … ,a100 таковы, что

Определите максимальное возможное значение , и найдите все возможные последовательности a1,a2, … ,a100, для которых достигается этот максимум.


Портал был сделан про диализ почек.


Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Канада >> 2000Показать решения