Задача 1:

В полдень Анна, Бет и Кармен начали бежать по круговой дорожке длиной триста метров, стартовав с одной точки. Каждая из них бежала с постоянной скоростью в одном из двух возможных направлений. Докажите, что, если скорость Анны отличается от скоростей двух других девочек, то в какой-то момент времени Анна будет на расстоянии не менее ста метров от каждой из соперниц (расстояние измеряется вдоль более короткой из двух дуг, разделяющих бегуний).

Задача 2:

Перестановка чисел 1901,1902, … ,2000 – последовательность чисел a₁,a₂, … ,a₁₀₀, в которой каждое из этих чисел встречается только один раз. Сфомируем последовательность частичных сумм такой перестановки:

s₁ = a₁,\;\;s₂ = a₁ + a₂,\;\;s₃ = a₁ + a₂ + a₃,\; … \;,\;s₁₀₀ = a₁ + a₂ +  • s + a₁₀₀.

Для скольких таких перестановок в последовательности s₁, … ,s₁₀₀ не будет членов, делящихся на 3?

Задача 3: Пусть A = (a₁,a₂, … ,a₂₀₀₀) – последовательность целых чисел из промежутка [ – 1000,1000]. Предположим, что сумма элементов A равна 1. Докажите, что можно выбрать непустую подпоследовательность A, сумма элементов которой равна нулю.

Задача 4:

Пусть ABCD – выпуклый четырёхугольник с

Докажите, что AD = CD.

Задача 5:

Предположим, что вещественные числа a₁,a₂, … ,a₁₀₀ таковы, что

Определите максимальное возможное значение , и найдите все возможные последовательности a₁,a₂, … ,a₁₀₀, для которых достигается этот максимум.