ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Эстонская МО >> 1995 >> 12 классУбрать решения
Национальные зарубежные олимпиады. Эстонская МО. 1995. 12 класс

Задача 1:

Бильярдный стол имеет форму прямоугольника вершины которого находятся в точках O(0,0), A(0,1), и . Шар, начавший двигаться из точки P(0,⅓), отражается прежде всего от борта AB стола в точке X. Двигаясь дальше, шар отражается от бортов BC и CO и вернется в конце концов в исходную точку P. Найти координаты точки X.

Задача 2:

Показать, что уравнение не имеет вещественных решений.

Задача 3:

Найти все трехзначные числа такие, что a,b,c ≠ 0 и .

Задача 4:

Пусть a,b,c – длины сторон треугольника и  α , β , γ  – соответственно величины углов, расположенных против этих сторон. Доказать, что если  α  = 2( β  –  γ ), то a²b = (b + c)(b² – c²).

Задача 5:

Пусть A – сумма первых n членов геометрической прогрессии a1,a2, …  и B – сумма обратных значений тех же членов. Найти произведение первых n членов этой прогрессии.

Задача 6:

На бесконечной клетчатой бумаге некоторые клетки отмечены, так что любой прямоугольник, состоящий из 12 клеток содержит по крайней мере одну отмеченную клетку. Доказать, что найдется прямоугольник, состоящий из 8 клеток и содержащий по крайней мере две отмеченные клетки.



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Эстонская МО >> 1995 >> 12 классУбрать решения