Задача 1:

В школе лодырей устроили соревнования по списыванию и подсказке. Известно, что 75% учеников школы настолько ленивы, что вообще не явились на соревнования, а все остальные приняли участие хотя бы в одном из соревнований. При подведении итогов оказалось, что в обоих соревнованиях участвовало 10% всех явившихся и что участвовавших в соревновании по подсказке было в полтора раза больше, чем участвовавших в соревновании по списыванию. Найти наименьшее возможное число учеников в школе лодырей.

Задача 2:

Найти все целые числа n, для которых 4n² + 14n – 65 есть простое число.

Задача 3:

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E такая, что |BE|:|EC| = 1:2. Найти отношение |DF|:|FB|, где F есть точка пересечения отрезка AE с диагональю BD параллелограмма.

Задача 4:

Известно, что квадратное уравнение bx² – (a – 3b)x + b = 0 имеет единственное вещественное решение. Доказать, что уравнение x² + (a – b)x + (ab – b² + 1) = 0 не имеет вещественных решений.

Задача 5:

Участники вечеринки сидят за круглым столом, причем имеетс одинаковое число тех, чей сосед справа одного с ним (ней) пола, и тех, чей сосед справа противоположного с ним (ней) пола. Доказать, что число сидящих за столом делится на четыре.