Задача 1:

Найти все такие пары чисел (x,y), что сумма дробей и равна произведению этих же дробей.

Задача 2:

Какое число больше,

Задача 3:

Имеется 1\,000\,000 куч по 1996 монет в каждой из них, причем в одной куче только фальшивые монеты, а во всех остальных – только настоящие. Каким наименьшим числом взвешиваний можно определить кучу, содержащую фальшивые монеты, если используемые весы имеют одну чашу и позволяют взвешивать сколь угодно большой вес с точностью до одного грамма, а также известно, что каждая фальшивая монета весит 9 граммов, а кажда настоящая – 10 граммов?

Задача 4:

Пусть K, L, M и N – соответственно середины сторон CD, DA, AB и BC квадрата ABCD. Найти площадь общей части треугольников AKB, BLC, CMD и DNA, если сторона квадрата ABCD равна 1.

Задача 5:

Юри и Мари хотят сыграть в следующую игру. В начале игры выбираются числа n > m ≥ 0 и на пустой стол кладется n конфет. Далее игроки начинают по очереди делать ходы. Каждый ход состоит в выборе неотрицательного целого числа k ≤ m и взятии со стола k конфет (в случае k = 0 игрок не делает ничего). При этом число k, выбранное игроком, не должно совпадать ни с одним из чисел, выбранных тем или другим игроком на каком-либо предыдущем ходе, а также не может превышать числа конфет на столе. Игра заканчивается, если один из игроков не может сделать очередной ход.

Юри и Мари решили, что сначала Мари выбирает числа n и m, а затем Юри решает, считать ли игрока, сделавшего последний ход, выигравшим или проигравшим. Первый ход делает Мари. Может ли она выбрать числа m и n так, чтобы иметь возможность выиграть игру независимо от решения Юри?