Задача 1:

p – простое число, большее 3. Докажите, что 7^p – 6^p – 1 делится на 43.

Задача 2:

ABC – остроугольный треугольник, стороны и площадь которых равны a, b, c и S соответственно. Докажите, что необходимым и достаточным условием существования точки P расстояния от которой до вершин треугольника равны x, y и z является существование трех треугольников таких, что стороны первого равны x, y, a, второго – x, z, c, третьего – y, z, b, сумма площадей которых равна S.

Задача 3:

Для фиксированных n и r найдите минимальное m такое, что при любом разбиении множества натуральных чисел от 1 до m на r частей в одной из частей разбиения можно будет выбрать два числа a и b такие, что .

Задача 4:

В n-вершинном графе любые две вершины соединены путем длины не более 2. a) Найдите наименьшее количество ребер в таком графе. b) Какое количество ребер необходимо добавить к 6-вершинному циклу так, чтобы выполнялось предыдущее условие?

Задача 5:

Докажите, что для любых двух винтовых линий существует бесконечно много прямых равноудаленных от них.

Задача 6:

f(x) и g(x) – многочлены с вещественными коэффициентами, притом существует бесконечно много рациональных x для которых отношение рационально. Докажите, что можно записать в виде отношения двух многочленов с рациональными коэффициентами.