Задача 1:

Прямая, проходящая через вершину C параллелограмма ABCD пересекает продолжения сторон AB и AD в точках E и F соответственно. Докажите, что AC² + CE • CF = AB • AE + AD • AF.

Задача 2:

Докажите, что не существует натуральных n и m таких, что .

Задача 3: a,b,c – различные вещественные числа, притом . Докажите, что abc + t = 0.

Задача 4: Единичный квадрат разбили на 100 частей отрезками, выходящими из центра. Оказалось, что периметры всех частей одинаковы и равны p. Докажите, что 1,4 < p < 1,5.

Задача 5: Каким количеством способов можно расставить числа от 0 до 3 в таблице 4 × 4 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце делилась бы на 4?

Задача 6: a и b – положительные вещественные числа такие, что все корни уравнения x³ – ax + b = 0 вещественны. Пусть  α  – один из них. Докажите, что .