Задача 1:

Найдите все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющих уравнению 1 + 1996x + 1998y = xy.

Задача 2:

Внутри равностороннего треугольника ABC взята точка M. D, E и F – основания перпендикуляров, опущенных из M на стороны BC, CA и AB соответственно. Найдите геометрическое место точек M, дл которых угол FDE прямой.

Задача 3:

Найдите все многочлены p(x) удовлетворяющие для любого x следующему уравнению: (x – 16)p(2x) = 16(x – 1)p(x).

Задача 4:

a,b и c – неотрицательные вещественные числа. Докажите, что если a + b + c ≥ abc, то a² + b² + c² ≥ abc.

Задача 5:

S – множество всех нечетных целых чисел больших 1. Для каждого x из S через  δ (x) обозначим такое целое число, что 2 ^δ (x) < x < 2 ^{δ (x) + 1}. Для a,b из S определим a*b следующим образом: a*b = 2 ^{δ (a) – 1}(b – 3) + a. Вычислим, например, 7*5.  δ (7) = 2, значит 7*5 = 2^2 – 1(5 – 3) + 7 = 11 (в то же врем 5*7 = 2^2 – 1(7 – 3) + 5 = 13).Докажите, что если a,b,c из S, то

• [(1)] a*b принадлежит S,
• [(2)] (a*b)*c = a*(b*c).

Задача 6:

Для положительного числа n через  σ (n) обозначим сумму всех положительных делителей n. Например,  σ (3) = 1 + 3 = 4,  σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12. Число a называется избыточным, если  σ (a) > 2a. Докажите, что произведение избыточного числа на любое натуральное – избыточное число.

Задача 7:

В четырехугольник ABCD вписана окружность.  ∠ A =  ∠ B = 120,  ∠ D = 90, |BC| = 1. Найдите длину стороны AD.

Задача 8:

A – подмножество 0,1,2,3, … ,1997 содержащее не менее 1000 элементов. Докажите, что либо A содержит некоторую степень двойки, либо в A найдутся два различных числа a и b таких, что a + b степень двойки.

Задача 9:

S – множество всех натуральных чисел n, удовлетворяющих следующим условиям:

• [(1)] n – 1000-значное число;
• [(2)] все цифры n нечетны;
• [(3)] любые две соседние цифры n различаются на 2.

Найдите количество элементов S.

Задача 10:

p – простое число большее 2, n – натуральное число и T = 1,2, … ,n. Число n назовем p-делимым, если существуют непустые T₁, T₂,…, T_p подмножества T такие, что

• [(1)] ;
• [(2)] T₁,T₂, … ,T_p дизъюнктны (любые два из T_i не пересекаются);
• [(3)] при любом i сумма элементов T_i одна и та же.

Так, например, 5 – 3-делимое число (T₁ = 1,4, T₂ = 2,3, T₃ = 5). Докажите, что

• [(a)] если n p-делимое, то p делит n или n + 1;
• [(b)] если n делится на 2p, то оно p-делимое.