Задача 1:

Из множества натуральных чисел выкинули все числа имеющие вид ( – ближайшее к x целое число). a_n – оставшиеся числа выписали в порядке возрастания. Найдите формулу для a_n.

Задача 2:

На плоскости отметили 5 точек никакие три из которых не лежат на одной прямой. Известно, что квадраты 9 из 10 попарных расстояний между этими точками – рациональные числа. Докажите, что и квадрат оставшегося расстояния также рациональное число.

Задача 3:

На плоскости дан треугольник A₀A₁A₂ и точка P₀. Строится последовательность точек P₁,P₂, …  Точка P_i + 1 симметрична P_i относительно вершины A_i  3. a) Докажите, что P₆ = P₀. b) Найдите ГМТ P₀ для которых отрезки P_iP_i + 1 не пересекают внутренность треугольника A₀A₁A₂.

Задача 4:

M – середина сторны BC треугольника ABC.  ∠ MAC = 15. Найдите максимально возможное значение угла  ∠ B.

Задача 5:

Каждому из N человек дважды выдают карточки на которых написаны числа от 1 до N. Затем некоторым из них выдают подарки в соответствии со следующим правилом: человек получает подарок, если никто другой за обе раздачи карточек не получил числа больше него. Определите ожидаемое количество выданных подарков.