ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Япония >> 1994Показать решения
Японская математическая олимпиада.. 1994

Задача 1:

Из множества натуральных чисел выкинули все числа имеющие вид ( – ближайшее к x целое число). an – оставшиеся числа выписали в порядке возрастания. Найдите формулу для an.

Задача 2:

На плоскости отметили 5 точек никакие три из которых не лежат на одной прямой. Известно, что квадраты 9 из 10 попарных расстояний между этими точками – рациональные числа. Докажите, что и квадрат оставшегося расстояния также рациональное число.

Задача 3:

На плоскости дан треугольник A0A1A2 и точка P0. Строится последовательность точек P1,P2, …  Точка Pi + 1 симметрична Pi относительно вершины Ai  3. a) Докажите, что P6 = P0. b) Найдите ГМТ P0 для которых отрезки PiPi + 1 не пересекают внутренность треугольника A0A1A2.

Задача 4:

M – середина сторны BC треугольника ABC.  ∠ MAC = 15. Найдите максимально возможное значение угла  ∠ B.

Задача 5:

Каждому из N человек дважды выдают карточки на которых написаны числа от 1 до N. Затем некоторым из них выдают подарки в соответствии со следующим правилом: человек получает подарок, если никто другой за обе раздачи карточек не получил числа больше него. Определите ожидаемое количество выданных подарков.


Где провести отличный корпоратив www.cosmik.ru.


Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Япония >> 1994Показать решения