Задача 1:

Конечное множество точек плоскости обладает тем свойством, что площадь треугольника с вершинами в данном множестве меньше 1. Докажите, что все множество можно поместить в треугольник площади меньше 4.

Задача 2:

Для данного натурального m найлите все тройки (x,y,n) натуральных чисел такие, что m и n взаимно просты и (x² + y²)^m = (xy)ⁿ.

Задача 3:

Около треугольника ABC описали окружность. Точки P, Q и R – середины дуг BC, CA, AB соответственно. Прямые AP, BQ, и CR пересекают BC, CA и AB в точках L, M и N соответственно. Докажите, что

Для каких треугольников достигается равенство?

Задача 4:

Докажите, что количество разбиений числа n на m различных слагаемых равно количеству разбиений n – ½m(m + 1) на не более чем m слагаемых.

Задача 5:

Найдите вероятность того, что три случайно выбранные на окружности точки лежат на одной полуокружности.

Задача 6:

Докажите, что любое натуральное число большее 1 можно представить в виде суммы нескольких не делящихся друг на друга слагаемых не имеющих простых делителей отличных от 2 и 3.

Задача 7:

Найдите все функции, заданные на всей вещественной оси, за исключением 0, которые удовлетворяют условию .

Задача 8:

Окружности O₁ и O₂ радиусов r₁ и r₂ (r₁ < r₂) соответственно пересекаются в точках A и B. Точка P лежит на окружности O₁. Прямые PA и PB пересекают окружность O₂ в точках Q и R соответственно. a) Выразите QR через r₁,r₂ и  θ  =  ∠ APB. b) Докажите, что окружности O₁ и O₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда QR = 2r₂.