Задача 1: Даны два различных натуральных числа a и b. Докажите, что существует бесконечно много n таких, что a + n и b + n взаимно просты.

Задача 2: Существует ли такая функция f определенная на множестве вещественных чисел, такая, что f(f(x)) = x и f(f(x) + 1) = 1 – x для любого x?

Задача 3: Даны окружность  ω  с центром в точке O и не пересекающая ее прямая t. Точка E – проекция O на t. Из точки M на t, отличной от E провели касательные к  ω  – MA и MB. AB пересекает OE в точке X. Докажите, что положение точки X не зависит от выбора M.

Задача 4:

Числа a и b – положительные, n – натуральное. Докажите, что

Задача 5: Найдите наименьшее n обладающее следующим свойством: если из 9 попарно незнакомых людей выбрать n пар, и в каждую пару сделать либо друзьями либо врагами, то из всей группы можно будет выбрать либо тройку попарных друзей, либо тройку попарных врагов.