Задача 1:

В прямоугольной системе координат на плоскости отметили все точки с целочисленными координатами (m,n). Затем соединили отрезками все те отмеченные точки, расстояние между которыми выражается целым числом. Докажите, что никакие два из полученных отрезков не пересекаются под углом 45°. Верно ли, что если провести аналогичные построения в пространстве, то найдутся два отрезка угол между которыми будет 45°?

Задача 2:

a и b – два целых числа, отличных от 0, 1 и  – 1. Рассмотрим матрицу:

Выберите в этой матрице как можно меньшее количество строк, так, чтобы все оставшиеся строки были бы линейными комбинациями выбранных. Запишите эти линейные комбинации.

Задача 3:

Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты u, v и w многочлена x³ – ux² + vx – w, чтобы из отрезков, длины которых равны корням многочлена можно было бы составить треугольник?

Задача 4:

A′, B′ и C′ – точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со сторонами BC, CA и AB соответственно. D – точка пересечения бисектриссы угла A и прямой C′A′. Найдите все возможные значения, которые может принимать угол ADC.

Задача 5:

Для любого натурального числа n определим s(n) – количество чисел в записи числа n в двоичной системе счисления. Вычислите:  σ (k) = s(1) + s(2) + s(3) +  • s + s(2^k).

Задача 6:

Вычислите целую часть суммы: