Задача 1:

Докажите, что для любых положительных x,y,u и v

Задача 2:

Дана окружность с центром O и точка P вне нее. Пусть l – прямая проходящая через точку P и пересекающая окружность в точках A и B. C – точка, симметричная A относительно прямой OP, а m – прямая, соединяющая точки B и C. Докажите, что при различных l все прямые m имеют общую точку.

Задача 3:

На ребре OA₁ тетраэдра OA₁B₁C₁ выбрали точки A₂ и A₃ такие, что OA₁ > OA₂ > OA₃ > 0. На ребре OB₁ выбрали точки B₂,B₃, а на ребре OC₁ – точки C₂ и C₃ так, что плоскости A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ и A₃B₃C₃ параллельны. V_i – объем тетраэдра OA_iB_iC_i, а V – объем тетраэдра OA₁B₂C₃. Докажите, что V₁ + V₂ + V₃ ≥ 3V.

Задача 4:

x_n – последовательность натуральных чисел такая, что x₁ = 1 и x_n < x_n + 1 ≤ 2n при n = 1,2, …  Докажите, что для каждого натурального k существуют такие r и s, что x_r – x_s = k.

Задача 5:

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC выбрали точки D, E и F соответственно, так, что радиусы окружностей вписанных в треугольники AEF, BFD и CFD равны r₁. Радиусы окружностей вписанных в треугольники DEF и ABC соответственно равны r₂ и r. Докажите что r₁ + r₂ = r.

Задача 6:

Непрерывная вещественнозначная функция, определенная на всей вещественной оси, удовлетворяет соотношениям f(1000) = 999, и f(x)f(f(x)) = 1 для всех x. Найдите f(500).