Задача 1:

Решите систему уравнений в рациональных числах:

Задача 2:

Окружность с центром в точке O, вписанная в неравнобочную трапецию ABCD, касается ее меньшего основания CD в точке E, M – середина AB. Прямая OM пересекает отрезок CD в точке F. Докажите, что |DE| = |FC| тогда и только тогда, когда |AB| = 2|CD|.

Задача 3:

Через g(k) обозначим наибольший нечетный делитель k и положим

Последовательность x_n строится следующим образом: x₁ = 1 и x_n = f(x_n – 1) при n > 2. Докажите, что число 800 появится в этой последовательности ровно один раз и найдите такое n, что x_n = 800.

Задача 4:

Вершины выпуклого многогранника, все грани которого треугольники, покрасили в три цвета. Докажите, что число граней все три вершины которых разноцветные – четно.

Задача 5:

Найдите все функции заданные на вещественной оси такие, что

Задача 6:

Можно ли найти объем тетраэдра зная площадь его граней и радиус вписанной в него сферы? (иными словами: является ли объем функцией от площадей граней и радиуса вписанной сферы?)