Задача 1:

Найдите все многочлены пятой степени P(x) с вещественными коэффициентами такие, что P(x) + 1 делится на (x – 1)³, а P(x) – 1 делится на (x + 1)³.

Задача 2:

a₁,a₂, … ,a_n – положительные вещественные числа и

b₁,b₂, … ,b_n – вещественные числа такие, что дл любого i b_i ≥ a_i. Докажите, что

Задача 3:

Сечение куба, проходящее через его центр – вписанный шестиугольник. Докажите, что он правильный.

Задача 4:

В вершинах куба записаны числа 1 или  – 1. На каждой грани записали произведение чисел в ее вершинах. Чему может быть равна сумма всех 14 чисел записанных на кубе?

Задача 5:

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что бисектрисса угла BAC перпендикулярна прямой SC, где S – точка пересечения бисектриссы с прямой PQ.

Задача 6:

p – простое число. Докажите, что следующие два утверждени эквивалентны:

(1) существует такое целое n, что n² – n + 3 делится на p;

(2) существует такое целое m, что m² – m + 25 делится на p.