Задача 1:

Найдите все тройки положительных рациональных чисел таких, что x + y + z, , xyz – натуральные числа.

Задача 2:

Даны две параллельные прямые k и l и окружность, не пересекающа прямую k. Из точки A, лежащей на k провели две касательных к окружности, которые пересекают прямую l в точках B и C. Пусть m – прямая проходящая через точку A и середину отрезка BC. Докажите что все такие прямые m (полученные при различном выборе точки A на k) проходят через одну точку.

Задача 3:

Дано натуральное число c. Рассмотрим отображение w(A), которое каждому подмножеству I = 1,2, … ,n сопоставляет целое число от 1 до c, и для любых двух A и B (подмножеств I) выполняется w(A ∩ B) =  min (w(A),w(B)). Пусть a(n) – число отображений удовлетворяющих вышеперечисленным свойствам. Найдите .

Задача 4: Имеется три сосуда. Емкость первого из них – m литров, второго – n литров, третьего – m + n литров, где числа m и n взаимно простыа. Третий сосуд полностью заполнен водой, в то время как первые два – пустые. Докажите, что переливаниями воды между сосудами можно добиться того, что в третьем сосуде будет ровно k литров воды, где k – произвольное число от 1 до m + n – 1.

Задача 5:

A₁,A₂, … ,A₈ – вершины параллелепипеда с центром в точке O. Докажите, что

Задача 6:

Различные вещественные числа x₁,x₂, … x_n (n ≥ 4) удовлетворяют соотношениям:

Докажите, что среди x_i найдутся такие четыре числа a, b, c и d, что