Задача 1:

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. P(5) делится на 2, P(2) делится на 5. Докажите, что P(7) делится на 10.

Задача 2:

ABCDEF – выпуклый шестиугольник, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA. Докажите, что продолжения высот треугольников BCD, DEF и FAB, опущенных из вершин C, E и A пересекаются в одной точке.

Задача 3:

a, b, c, d – положительные иррациональные числа и a + b = 1. Докажите, что c + d = 1 тогда и только тогда, когда для любого натурального n[na] + [nb] = [nc] + [nd].

Задача 4:

x₁,x₂, … ,x_n – положительные вещественные числа, удовлетворяющие условию

Докажите, что для любого вещественного t > 1

Задача 5:

В тетраэдре ABCD, окружности, вписанные в треугольники ABC и ABD, касаются ребра AB в одной точке. Докажите, что точки касания этих окружностей со сторонами AC, BC, AD и BD лежат на одной окружности.

Задача 6:

Найдите все натуральные n для которых квадрат n × n можно разрезать на квадраты 2 × 2 и 3 × 3.