Задача 1:

Сколько существует подмножеств множества 1,2, … ,2n в которых уравнение x + y = 2n + 1 не имеет решений.

Задача 2:

Выпуклый пятиугольник разделен диагоналями на один пятиугольник и десять треугольников. Какое максимальное количество равновеликих треугольников могло получиться?

Задача 3:

p – простое число большее 3. Определим последовательность a_n следующим образом:

Найдите остаток от деления a_q на p, где q = p³.

Задача 4:

Среднее гармоническое положительных чисел x₁,x₂, … ,x_n равно 1. Найдите минимальное значение

Задача 5:

В урне находится n листов бумаги пронумерованных от 1 до n. Из урны один за другим достают листы пока не вытянут лист на котором написано число делящееся на k. При фиксированном n найдите все такие значения k для которых ожидаемое количество вытащенных листов равно k.

Задача 6:

Из точки P в пространстве провели три луча k, l и m. A – точка на луче k отличная от P. Докажите, что существует ровно одна пара точек B и C взятых на лучах l и m соответственно, таких, что PA + AB = PC + CB и PB + BC = PA + AC.