Задача 1:

Пусть A_n = 1,2, … ,n. Верно ли, что для любого целого n ≥ 2 существуют функции f:A_n → A_n и g:A_n → A_n такие, что f(f(k)) = g(g(k)) = k для всех k ∈ A_n; g(f(k)) = k + 1 для всех k < n.

Задача 2:

В треугольнике ABC  ∠ BCA – тупой и  ∠ BAC = 2 ∠ ABC. На прямой AC выбрали точку D такую, что угол DBC прямой, M – середина AB. Докажите, что  ∠ AMC =  ∠ BMD.

Задача 3:

a) a,b,c,d,e,f – неотрицательные числа с суммой 1, удовлетворяюшие неравеству

Докажите, что

b) Существуют ли шесть различных положительных чисел с суммой 1, дл которых оба приведенных выше неравенства превращаются в равенства?

Задача 4:

Решите в целых числах уравнение: x² + 3y² = 1998x.

Задача 5:

Неотрицательные числа a₁,a₂, … ,a₇,b₁,b₂, … ,b₇ удовлетворяют неравенствам a_i + b_i ≤ 2 при всех i от 1 до 7. Докажите, что существуют два различных индекса k,m такие, что |a_k – a_m| + |b_k – b_m| ≤ 1.

Задача 6:

Докажите, что в тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD тогда и только тогда, когда существует параллелограм CDPQ такой, что PA = PB = PD и QA = QB = QC.