Задача 1:

На стороне BC треугольника ABC взяли точку D такую, что AD > BC. На стороне AC выбрали точку E, удовлетворяющую равенству Докажите, что AD > BE.

Задача 2:

Докажите, что из 101 различного натурального числа меньшего 5050 можно выбрать четыре – a,b,c,d такие, что a + b – c – d делится на 5050.

Задача 3:

Докажите, что существует 50 различных натуральных чисел n₁,n₂, … ,n₅₀ таких, что n₁ + S(n₁) = n₂ + S(n₂) =  …  = n₅₀ + S(n₅₀), где S(n) – сумма цифр числа n.

Задача 4:

При каких целых n система уравнений

имеет решения в целых числах.

Задача 5:

a₁,a₂, … ,a_n,b₁, … ,b_n – целые числа. Докажите, что

Задача 6:

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF сумма углов A, C и E равна 360 и . Докажите, что .