Задача 1:

Назовем множество эгоцентричным (или э-множеством), если оно содержит свою мощность (число элементов). (Например, 2,3,3,5,8 – э-множества, а 3,5,2,5,8 не являются таковыми). Найти число подмножеств множества 1,2, … ,n, являющихся минимальными э-множествами, т.е. такими эгоцентричными множествами, чьи собственные подмножества – не э-множества. (Пример. 2,3 – минимальное э-множество в отличие от 1,2).

Задача 2:

Доказать, что для любого натурального числа n

Задача 3:

Пусть x₁,x₂, … ,x_n = 1,2, … ,n. Найти как функцию от n (n > 2) наибольшее значение выражения x₁x₂ + x₂x₃ +  …  + x_n – 1x_n + x_nx₁.

Задача 4:

Для произвольной квадратной матрица A определим  sin A с помощью степенного ряда:

Существует ли такая 2 × 2 матрица A, что

Задача 5:

Для строки S, состоящей из единиц и нулей, обозначим через  Δ (S) разность числа единиц и нулей. Например,  Δ (1001001) =  – 1. Назовем строку S сбалансированной, если для любой подстроки T (последовательных символов) S  – 2 ≤  Δ (T) ≤ 2. Так, строка 1001001 не является сбалансированной, так как содержит подстроку 00100. Найти число сбалансированных строк длины n.

Задача 6:

Пусть  – радиус-векторы вершин выпуклого многоугольника, внутри которого находится начало координат. Доказать, что существуют такие положительные числа x и y, что