Задача 1:

Прямоугольник HOMF имеет стороны HO = 11 и OM = 5. Для треугольника ABC точка H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, M — середина BC, F – основание высоты, проведенной из вершины A. Найти длину BC.

Задача 2:

За круглым столом сидят n игроков. Каждый из них первоначально имеет по одному рублю. Первый игрок передает рубль второму, после чего второй передает два рубля третьему. Затем третий игрок передает рубль четвертому, а четвертый два рубля пятому и т.д. Игроки поочередно передают рубль или два рубля следующему игроку, у которого еще есть деньги; игрок, лишившийся денег, выбывает из игры и покидает стол. Найти бесконечное множество таких n, при которых игра заканчивается тем, что у некоторого игрока оказываются все n рублей.

Задача 3: Вычислить

Задача 4:

Пусть G – группа с единичным элементом e;  φ : G → G – функция такая, что  φ (g₁) φ (g₂) φ (g₃) =  φ (h₁) φ (h₂) φ (h₃), всякий раз, когда g₁g₂g₃ = e = h₁h₂h₃. Доказать, что существует такой элемент a ∈ G, что функция  ψ (x) = a φ (x) есть гомоморфизм (т.е.  ψ (xy) =  ψ (x) ψ (y) для всех x,y ∈ G).

Задача 5:

Для n = 10 определить, четно или нечетно число упорядоченных n-элементных наборов натуральных чисел (x₁,x₂, … ,x_n) таких, что

Задача 6:

Пусть n – натуральное число, c – действительное число. Последовательность (x_k) определяется соотношениями x₀ = 0,x₁ = 1 и

Пусть при фиксированном n число c принимает наибольшее значение, при котором x_n + 1 = 0. Выразить x_k через n и k, где 1 ≤ k ≤ n.