Задача 1:

Для натурального n обозначим:

Найдите натуральные числа a,b,c,d, не большие 1000000, такие, что T₁₉₈₈ = aS₁₉₈₉ – b и U₁₉₈₈ = cS₁₉₈₉ – d.

Задача 2:

20 теннисистов устроили между собой соревнование из 14 игр. В каждой игре участвует 2 человека и каждый из этой компании теннисистов принял участие хотя бы в одной игре. Докажите, что в некоторых 6 играх участвовало 12 различных теннисистов.

Задача 3:

P(z) = zⁿ + c₁z^n – 1 + c₂z^n – 2 +  • s + c_n – многочлен с вещественными коэффициентами. Известно, что |P(i)| < 1. Докажите, что существуют такие вещественные числа a и b, что P(a + bi) = 0 и (a² + b² + 1)² < 4b² + 1.

Задача 4:

В остроугольном треугольнике ABC AB < AC < BC, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности. Докажите, что прямая IO пересекает стороны AB и BC.

Задача 5:

Какое из двух вещественных чисел u и v больше, если

(u + u² + u³ +  • s + u⁸) + 10u⁹ = (v + v² + v³ +  • s + v¹º) + 10v¹¹ = 8.