Задача 1:

В треугольнике ABC угол A в два раза больше угла B, угол C – тупой, а длины сторон a,b,c – целые числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что он минимальный из всех возможных.

Задача 2:

Для любого непустого множества чисел S, обозначим  σ (S) и  π (S) сумму и произведение элементов S соответственно. Докажите, что

где « Σ » означает суммирование по всем непустым подмножествам множества 1,2,3, … ,n.

Задача 3:

Докажите, что для любого целого n ≥ 1, последовательность

постоянна начиная с некоторого места.

( означает взятие остатка от делени \,a_i\, на \,n.)

Задача 4:

a = (m^m + 1 + n^n + 1)/(m^m + nⁿ), где m и n – натуральные числа. Докажите, что a^m + aⁿ ≥ m^m + nⁿ.

Задача 5:

D – некоторая точка на стороне AB треугольника ABC, а E – точка, в которой CD пересекает внешнюю общую касательную к окружностям, вписанным в треугольники ACD и BCD. Докажите, что если точка D пробегает отрезок AB, то точка E описывает некоторую дугу окружности.