Задача 1:

Чему равна сумма цифр числа

(каждый следующий множитель имеет в два раза больше цифр, чем предыдущий)

Задача 2:

Докажите, что

Задача 3:

Обозначим сумму всех элементов непустого множества S через  σ (S). Пусть A = a₁,a₂, … ,a₁₁ – множество натуральных чисел такое, что a₁ < a₂ <  • s < a₁₁ и для каждого натурального n ≤ 1500 существует такое S – подмножество A, дл которого  σ (S) = n. Какое наименьшее возможное значение a₁₀?

Задача 4:

Три хорды на сфере (AA′,BB′,CC′) пересекаются в одной точке внутри сферы (P) и не лежат в одной плоскости. Сфера, проходящая через A,B,C,P касается сферы, проходящей через A′,B′,C′,P. Докажите, что AA′ = BB′ = CC′.

Задача 5:

P(z) – многочлен 1992 степени с комплексными коэффициентами, все корни которого различны. Докажите, что существуют такие комплексные числа a₁,a₂, … ,a₁₉₉₂, что P(z) делит многочлен