Задача 1:

k₁ < k₂ < k₃ <  • s – последовательность натуральных чисел никакие два из которых не являютс последовательными. s_m = k₁ +  …  + k_m. Докажите, что для любого n в интервале [s_n,s_n + 1) содержится по крайней мере один точный квадрат.

Задача 2:

Стороны 99-угольника покрашены в три цвета следующим образом: красный, синий, красный, синий, красный, …, красный, синий, желтый. У любой стороны можно поменять цвет на любой другой (синий, красный или желтый) так, чтобы никакие две соседние стороны не были бы окрашены в один и тот же цвет. Можно ли такими перекрашиваниями добиться того, чтобы стороны были бы покрашены вот так: красный, синий, красный, синий, красный, …, красный, желтый, синий?

Задача 3:

ABCDEF – выпуклый шестиугольник, вписанный в окружность, диагонали которого, AD, BE и CF, пересекаются в одной точке и длины сторон AB, CD и EF равны. P – точка пересечения прямых AD и CE. Докажите, что CP/PE = (AC/CE)².

Задача 4:

a₁,a₂,a₃, …  – последовательность положительных вещественных чисел такая, что дл всех натуральных n. Докажите, что

Задача 5:

Пусть |U|, σ (U) и  π (U) соответственно обозначают количество, сумму и произведение элементов конечного множества натуральных чисел U. (Если U – пустое множество, будем считать, что |U| = 0,  σ (U) = 0 и  π (U) = 1.) Пусть S – некоторое конечное множество натуральных чисел. Докажите, что дл любого m ≥  σ (S):