Задача 1:

Докажите, что среднее арифметическое чисел 2 sin 2,4 sin 4, … ,2n sin 2n°, … ,180 sin 180 равно  ctg 1°.

Задача 2:

Для непустого множества S обозначим сумму его элементов через  σ (S). A – множество, состоящее из n натуральных чисел. Рассмотрим набор различных сумм  σ (S), где S пробегает все непустые подмножества A. Докажите, что эти суммы можно разделить на n классов в каждом из которых отношение максимальной суммы к минимальной будет не более 2.

Задача 3:

ABC – треугольник. Докажите, что найдется такая прямая l, что площадь пересечения треугольника ABC с треугольником A′B′C′, симметричным ABC относительно прямой l, не меньше 2/3 площади исходного треугольника.

Задача 4:

Последовательность (x₁,x₂, … ,x_n), каждый член которой равен либо 0 либо 1 называется двоичной последовательностью длины n. Пусть a_n – количество двоичных последовательностей длины n, некоторые три последовательные члена которых равны 0, 1, 0, а b_n – количество двоичных последовательностей длины n, никакие четыре последовательных члена которых не равны ни 0, 0, 1, 1 ни 1, 1, 0, 0. Докажите, что для всех n b_n + 1 = 2a_n.

Задача 5:

Треугольник ABC обладает следующим свойством: существует така точка P внутри треугольника, что  ∠ PAB = 10°,  ∠ PBA = 20°,  ∠ PCA = 30° и  ∠ PAC = 40°. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Задача 6:

Определите (с доказательством) существует ли множество целых чисел X такое, что для любого n уравнение a + 2b = n имеет ровно одно решение с a и b из X.