ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Югославия >> Югославская олимпиада. >> 1995Показать решения
Югославская олимпиада.. 1995

Задача 1:

Докажите, что если p – простое число, то 11 … 122 … 2 … 99 … 9 – 123456789 делится на p (в записи числа 11 … 9 каждая цифра повторяется p раз).

Задача 2:

Значения многочлена P(x) = anxn + an – 1xn – 1 +  …  + a0 с целыми коэффициентами делятся на m при любом целом x. Докажите, что k!ak делится на m.

Задача 3:

Дана окружность k. M – точка пересечения диаметра CD и перпендикулярной ему хорды AB. На дуге ACB взяли точку P отличную от A, B и C. Прямая PM вторично пересекает окружность k в точке M, R – точка пересечения прямой PD и отрезка AB. Докажите, что RD > MQ.

Задача 4:

В тетраэдре ABCD точки P и Q – середины ребер AB и CD соответственно. Докажите, что если центр сферы описанной около тетраэдра лежит на прямой PQ, то и центр вписанной в него сферы также лежит на этой прямой.



Задачная база >> Национальные зарубежные олимпиады >> Югославия >> Югославская олимпиада. >> 1995Показать решения