Задача 1:

Докажите, что если p – простое число, то 11 … 122 … 2 … 99 … 9 – 123456789 делится на p (в записи числа 11 … 9 каждая цифра повторяется p раз).

Решение:

Очевидно, что утверждение верно для p = 2,3,5. В остальных случаях и 10^kp ≡ 10^k (mod p), тогда делится на p. Осталось заметить, что 11 … 122 … 233 … 899 … 9 = 9T₀ + 8T₁ + 7T₂ +  …  + T₈.

Задача 2:

Значения многочлена P(x) = a_nxⁿ + a_n – 1x^n – 1 +  …  + a₀ с целыми коэффициентами делятся на m при любом целом x. Докажите, что k!a_k делится на m.

Задача 3:

Дана окружность k. M – точка пересечения диаметра CD и перпендикулярной ему хорды AB. На дуге ACB взяли точку P отличную от A, B и C. Прямая PM вторично пересекает окружность k в точке M, R – точка пересечения прямой PD и отрезка AB. Докажите, что RD > MQ.

Задача 4:

В тетраэдре ABCD точки P и Q – середины ребер AB и CD соответственно. Докажите, что если центр сферы описанной около тетраэдра лежит на прямой PQ, то и центр вписанной в него сферы также лежит на этой прямой.