Задача 1: Функция f такова, что для любого натурального n 1 + f(0) + f(1) + f(2) +  …  + f(n – 1) = f(n), f(0) = 1. Найдите f²(0) + f²(1) +  …  + f²(n).

Решение: Заметим, что f(n) = 2f(n – 1) и, значит, f(n) = 2ⁿ. Тогда

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4: К параболам y =  – x² + 2x и y = x² + 2,5 проведены общие касательные. Доказать, что точки касания являются вершинами параллелограмма.

Решение: Старшие коэффициенты квадратных трёхчленов  – x² + 2x и x² + 2,5 противоположны, значит соответствующие параболы отличаются только координатами вершин и направлением ветвей. Рассмотрим центральную симметрию относительно точки  – середины отрезка между вершинами парабол: вершины парабол перейдут друг в друга, направление ветвей изменится на противоположное, то есть параболы перейдут друг в друга. Значит общие касательные к параболам перейдут в общие касательные. Отсюда следует, что четырёхугольник с вершинами в точках касания переходит сам в себя при центральной симметрии, и, следовательно является параллелограммом.